民事判决书下来之后由谁来执行判决?

民事判决书生效后，一般应由第一审人民法院负责执行判决。
民事判决生效后，如果对方未履行的，另一方可向第一审人民法院或者与第一审人民法院同级的被执行的财产所在地人民法院申请执行，但一般情况下，都应该向第一审人民法院申请执行，第一审人民法院受理申请后，会由法院执行局具体负责判决的执行。
《民事诉讼法》
第二百二十四条 发生法律效力的民事判决、裁定，以及刑事判决、裁定中的财产部分，由第一审人民法院或者与第一审人民法院同级的被执行的财产所在地人民法院执行。
法律规定由人民法院执行的其他法律文书，由被执行人住所地或者被执行的财产所在地人民法院执行。
第二百三十六条 发生法律效力的民事判决、裁定，当事人必须履行。一方拒绝履行的，对方当事人可以向人民法院申请执行，也可以由审判员移送执行员执行。
调解书和其他应当由人民法院执行的法律文书，当事人必须履行。一方拒绝履行的，对方当事人可以向人民法院申请执行。